Moving average process of order 3

1 Departemen Statistik, Universitas Pertanian Michael Okpara, Umudike, Nigeria 2 Departemen Statistik, Universitas Teknologi Federal, Owerri, Nigeria 3 Departemen Ilmu Matematika, Komputer dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Federal, Otueke, Nigeria Cipta copy 2015 oleh penulis dan Ilmiah Research Publishing Inc. Karya ini dilisensikan dengan lisensi Creative Commons Attribution International License (CC BY). Diterima 26 November 2014 diterima 12 Desember 2014 terbit 19 Januari 2015 Invertibilitas adalah salah satu sifat yang diinginkan dari proses rata-rata bergerak. Studi ini menghasilkan konsekuensi kondisi invertibilitas pada parameter proses rata-rata bergerak order tiga. Studi ini juga menetapkan interval untuk tiga koefisien autokorelasi pertama dari proses rata-rata bergerak dari pesanan tiga untuk tujuan membedakan antara proses dan proses lainnya (linier atau nonlinier) dengan struktur autokorelasi yang serupa. Untuk proses rata-rata bergerak yang dapat dibalik dari pesanan tiga, interval yang diperoleh adalah, dan. Moving Average Process of Order Tiga, Persamaan Karakteristik, Kondisi Terbalik, Koefisien Autokorelasi, Uji Derivatif Kedua Rata-rata proses (model) rata-rata merupakan kelas khusus dari model deret waktu linier. Proses rata-rata proses order (proses) bergerak adalah: di mana konstanta nyata dan, adalah urutan variabel acak independen dan identik dengan nol mean dan varians konstan. Proses ini telah banyak digunakan untuk memodelkan data time series dari berbagai bidang 1 -3. Model di (1.1) selalu diam. Oleh karena itu, kondisi yang diperlukan untuk penggunaan proses rata-rata bergerak adalah dapat dibalik. Misalkan, model di (1.1) dapat dibalik jika akar dari persamaan karakteristik berada di luar lingkaran satuan. Kondisi invertibilitas model urutan rata-rata ketertiban dan urutan kedua telah diturunkan 4 5. Ref. 6 menggunakan proses rata-rata bergerak dengan urutan tiga (proses MA (3)) dalam studi simulasi. Meskipun, proses rata-rata pergerakan rata-rata yang lebih tinggi telah digunakan untuk memodelkan data deret waktu, tidak banyak yang dikatakan tentang sifat fungsi autokorelasi mereka. Penelitian ini berfokus pada kondisi invertibilitas proses MA (3). Pertimbangan juga diberikan pada sifat koefisien autokorelasi dari proses rata-rata bergerak yang dapat dibalik dari pesanan tiga. 2. Konsekuensi Kondisi Keterbelakangan pada Parameter Proses MA (3) Untuk, proses rata-rata pergerakan berikut dari pesanan 3 diperoleh dari (1.1): Persamaan karakteristik yang sesuai dengan (2.1) diberikan oleh Hal ini penting untuk diketahui bahwa (2.2) adalah persamaan kubik. Informasi terperinci tentang bagaimana memecahkan persamaan kubik dapat ditemukan di 7 8 antara lain. Sudah menjadi tradisi umum untuk mempertimbangkan sifat akar dari persamaan karakteristik sambil menentukan kondisi invertibilitas model deret waktu 9. Sebagai persamaan kubik, (2.2) mungkin memiliki tiga akar nyata yang berbeda, satu akar nyata dan dua kompleks Akar, dua akar yang sama rata atau tiga akar yang sama. Sifat akar (2.2) ditentukan dengan bantuan diskriminan 8 Jika. (2.2) memiliki akar yang berbeda berikut 7 dimana diukur dalam radian dan. Kapan. (2.2) hanya memiliki akar nyata yang diberikan oleh 1 sebagai Akar lainnya adalah 8 Jika. dan. Kemudian dan (2.2) memiliki dua akar yang sama. Akar dari (2.2) dalam kasus ini, sama dengan (2.7), (2.8) dan (2.9). Untuk dan. (2.2) memiliki tiga akar yang sama. Masing-masing akar ini diberikan oleh 8 sebagai Untuk (2.1) menjadi dapat dibalik, akar dari (2.2) semuanya diharapkan berada di luar lingkaran unit dan. Dalam teorema berikut, kondisi invertibilitas dari proses MA (3) diberikan dengan syarat bahwa persamaan karakteristik yang sesuai memiliki tiga akar yang sama nyata. Teorema 1. Jika persamaan karakteristik memiliki tiga akar yang sama nyata, maka proses rata-rata pergerakan order tiga dapat dibalik jika Untuk invertibilitas, kita mengharapkan masing-masing dari tiga akar yang sama sebenarnya berada di luar lingkaran unit. Jadi, Selesaikan ketidaksetaraan. Kita peroleh Karena masing-masing akar terletak di luar lingkaran unit, nilai absolut produk mereka karenanya harus lebih besar dari satu lingkaran. Makanya, ini melengkapi buktinya. Wilayah invertibilitas rata-rata bergerak dari orde tiga dengan akar persamaan Persamaan karakteristik (2.2) diliputi oleh segitiga OAB pada Gambar 1. Gambar 1. Wilayah invertibilitas dari proses MA (3) ketika persamaan karakteristik memiliki tiga akar yang sama nyata. 3. Identifikasi Proses Bergerak Rata-rata Identifikasi model merupakan aspek penting dalam analisis deret waktu. Praktik yang umum dilakukan adalah memeriksa struktur fungsi autokorelasi (ACF) dan fungsi autokorelasi parsial (PACF) dari rangkaian waktu yang diberikan. Dalam hal ini, sebuah deret waktu dikatakan mengikuti proses rata-rata order yang bergerak jika fungsi autokorelasi yang terkait terputus setelah lag dan fungsi autokorelasi parsial yang sesuai meluruh secara eksponensial. 10. Penulis yang menggunakan metode ini, percaya bahwa setiap proses memiliki representasi ACF yang unik. Namun, adanya struktur autokorelasi yang serupa antara proses rata-rata bergerak dan proses deret bilinear diagonal murni dengan urutan yang sama membuat sulit untuk mengidentifikasi proses rata-rata bergerak berdasarkan pola ACF-nya. Selanjutnya, perhatikan secara seksama fungsi autokorelasi kuadrat deret waktu dapat membantu seseorang menentukan apakah rangkaian tersebut mengikuti proses rata-rata bergerak. Jika rangkaian dapat dihasilkan dengan proses rata-rata bergerak, maka kuadratnya mengikuti proses rata-rata bergerak dengan urutan yang sama 11 12. Kondisi di mana kita menggunakan fungsi autokorelasi untuk membedakan antara proses yang berperilaku seperti proses rata-rata bergerak dari orde satu dan dua. Telah ditentukan masing-masing 13 14. Kondisi ini semua didefinisikan berdasarkan nilai-nilai ekstrim koefisien autokorelasi proses. 4. Interval untuk Koefisien Autokorelasi dari Proses Pindah Rata-rata Pesanan Tiga Sebagaimana dinyatakan dalam Bagian 3, pengetahuan tentang nilai ekstrim koefisien autokorelasi dari proses rata-rata bergerak dari suatu pesanan tertentu dapat memungkinkan kita memastikan identifikasi proses yang tepat. Telah diamati bahwa untuk proses rata-rata bergerak order satu, 15 sedangkan untuk proses rata-rata bergerak order dua dan 5. Untuk generalisasi tentang kisaran nilai untuk proses rata-rata order bergerak. Sebaiknya menentukan nilai kisaran untuk proses rata-rata bergerak dari pesanan tiga. Model di (2.1) memiliki fungsi autokorelasi berikut 10: Kita dapat menyimpulkan dari (4.1) bahwa fungsi autokorelasi pada lag salah satu proses MA (3) adalah Menggunakan Buku Catatan Ilmiah, nilai minimum dan maksimum ditemukan pada Menjadi dan masing-masing. Untuk fungsi autokorelasi pada lag dua, kita memiliki nilai ekstrim yang sama diperoleh dengan bantuan Buku Catatan Ilmiah. Untuk efek ini, memiliki nilai minimum 0,5 dan nilai maksimal 0,5. Dari (4.1) yang kita dapatkan Berdasarkan hasil yang diperoleh dari Scientific Notebook, memiliki nilai minimum 0,5 dan nilai maksimum 0,5. Namun, interval untuk dapat dengan mudah diperoleh secara analitis dan hasil ini digeneralisasi dalam Teorema 2 untuk proses MA. Turunan turunan berkenaan dengan. Dan Poin kritis terjadi saat. Menyamakan masing-masing turunan parsial dalam (4.5), (4.6) dan (4.7) sampai nol, kita memperoleh2.1 Model Bergerak Rata-rata (model MA) Model deret waktu yang dikenal sebagai model ARIMA dapat mencakup istilah autoregresif dan atau istilah rata-rata bergerak. Pada minggu ke 1, kita belajar istilah autoregressive dalam model time series untuk variabel x t adalah nilai lag dari x t. Misalnya, lag 1 autoregressive term adalah x t-1 (dikalikan dengan koefisien). Pelajaran ini mendefinisikan istilah rata-rata bergerak. Istilah rata-rata bergerak dalam model time series adalah kesalahan masa lalu (dikalikan dengan koefisien). Misalkan (wt overset N (0, sigma2w)), yang berarti bahwa w t identik, didistribusikan secara independen, masing-masing dengan distribusi normal memiliki mean 0 dan varian yang sama. Model rata-rata bergerak urutan 1, dilambangkan dengan MA (1) adalah (xt mu wt theta1w) Model rata-rata bergerak urutan 2 yang dinotasikan dengan MA (2) adalah (xt mu wt theta1w theta2w) Model rata-rata pergerakan harga th q th , Dilambangkan dengan MA (q) adalah (xt mu wt theta1w theta2w titik thetaqw) Catatan. Banyak buku teks dan program perangkat lunak menentukan model dengan tanda negatif sebelum persyaratan. Ini tidak mengubah sifat teoritis umum dari model, meskipun ia membalik tanda aljabar dari nilai koefisien perkiraan dan (unsquared) terms dalam formula untuk ACF dan varians. Anda perlu memeriksa perangkat lunak Anda untuk memverifikasi apakah tanda negatif atau positif telah digunakan untuk menuliskan model perkiraan dengan benar. R menggunakan tanda-tanda positif pada model dasarnya, seperti yang kita lakukan di sini. Sifat Teoritis dari Seri Waktu dengan Model MA (1) Perhatikan bahwa satu-satunya nilai nol pada ACF teoritis adalah untuk lag 1. Semua autokorelasi lainnya adalah 0. Jadi sampel ACF dengan autokorelasi signifikan hanya pada lag 1 adalah indikator dari model MA (1) yang mungkin. Bagi siswa yang tertarik, bukti sifat ini adalah lampiran untuk handout ini. Contoh 1 Misalkan model MA (1) adalah x t 10 w t .7 w t-1. Dimana (wt overset N (0,1)). Dengan demikian koefisiennya 1 0,7. ACF teoritis diberikan oleh sebidang ACF berikut. Plot yang baru saja ditunjukkan adalah ACF teoritis untuk MA (1) dengan 1 0,7. Dalam prakteknya, contoh biasanya akan memberikan pola yang jelas. Dengan menggunakan R, kita mensimulasikan n 100 nilai sampel menggunakan model x t 10 w t .7 w t-1 dimana w t iid N (0,1). Untuk simulasi ini, plot time series dari data sampel berikut. Kami tidak tahu banyak dari plot ini. Contoh ACF untuk data simulasi berikut. Kita melihat lonjakan pada lag 1 diikuti oleh nilai-nilai non-signifikan secara umum untuk kelambatan masa lalu 1. Perhatikan bahwa sampel ACF tidak sesuai dengan pola teoritis MA yang mendasarinya, yaitu bahwa semua autokorelasi untuk kelambatan 1 akan menjadi 0 Sampel yang berbeda akan memiliki sampel ACF yang sedikit berbeda yang ditunjukkan di bawah ini, namun kemungkinan memiliki fitur luas yang sama. Sifat Teori dari Seri Waktu dengan Model MA (2) Untuk model MA (2), sifat teoretis adalah sebagai berikut: Perhatikan bahwa satu-satunya nilai tak-nol dalam ACF teoritis adalah untuk lags 1 dan 2. Autokorelasi untuk kelambatan yang lebih tinggi adalah 0 Jadi, sampel ACF dengan autokorelasi signifikan pada kelambatan 1 dan 2, namun autokorelasi yang tidak signifikan untuk kelambatan yang lebih tinggi mengindikasikan model MA (2) yang mungkin. Iid N (0,1). Koefisiennya adalah 0,5 dan 0,3. Karena ini adalah MA (2), ACF teoritis akan memiliki nilai tak-nol hanya pada kelambatan 1 dan 2. Nilai dari kedua autokorelasi tak-nol adalah sebidang ACF teoritis berikut. Seperti yang hampir selalu terjadi, sampel data tidak akan berperilaku sangat sempurna seperti teori. Kami mensimulasikan n 150 nilai sampel untuk model x t 10 w t .5 w t-1, 3 w t-2. Dimana w t iid N (0,1). Plot seri waktu dari data berikut. Seperti halnya plot seri waktu untuk data sampel MA (1), Anda tidak tahu banyak tentangnya. Contoh ACF untuk data simulasi berikut. Pola ini khas untuk situasi di mana model MA (2) mungkin berguna. Ada dua lonjakan yang signifikan secara statistik pada lag 1 dan 2 diikuti oleh nilai non-signifikan untuk kelambatan lainnya. Perhatikan bahwa karena kesalahan sampling, sampel ACF tidak sesuai dengan pola teoritisnya. ACF untuk General MA (q) Model Properti dari model MA (q) secara umum adalah bahwa ada autokorelasi tak-nol untuk q lags pertama dan autokorelasi 0 untuk semua lags gt q. Non-keunikan hubungan antara nilai 1 dan (rho1) pada MA (1) Model. Dalam model MA (1), untuk nilai 1. Timbal balik 1 1 memberikan nilai yang sama untuk Sebagai contoh, gunakan 0,5 untuk 1. Dan kemudian gunakan 1 (0.5) 2 untuk 1. Anda akan mendapatkan (rho1) 0,4 dalam kedua contoh. Untuk memenuhi batasan teoritis yang disebut invertibilitas. Kami membatasi model MA (1) untuk memiliki nilai dengan nilai absolut kurang dari 1. Pada contoh yang diberikan, 1 0,5 akan menjadi nilai parameter yang diijinkan, sedangkan 1 10,5 2 tidak akan. Keterbacaan model MA Model MA dikatakan dapat dibalikkan jika secara aljabar setara dengan model AR tak berhingga yang terkuak. Dengan konvergensi, berarti koefisien AR turun menjadi 0 saat kita bergerak mundur. Invertibilitas adalah pembatasan yang diprogram dalam perangkat lunak time series yang digunakan untuk memperkirakan koefisien model dengan persyaratan MA. Ini bukan sesuatu yang kita periksa dalam analisis data. Informasi tambahan tentang batasan invertibilitas untuk model MA (1) diberikan dalam lampiran. Catatan Teori Lanjutan Untuk model MA (q) dengan ACF tertentu, hanya ada satu model yang dapat dibalik. Kondisi yang diperlukan untuk invertibilitas adalah bahwa koefisien memiliki nilai sedemikian rupa sehingga persamaan 1- 1 y-. - q y q 0 memiliki solusi untuk y yang berada di luar lingkaran unit. Kode R untuk Contoh-Contoh Pada Contoh 1, kami menyusun model teoritis ACF dari model x t 10 w t. 7w t-1. Dan kemudian disimulasikan n 150 nilai dari model ini dan diplotkan time series sampel dan sampel ACF untuk data simulasi. Perintah R yang digunakan untuk merencanakan ACF teoritis adalah: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 lag dari ACF untuk MA (1) dengan theta1 0.7 lags0: 10 menciptakan variabel yang disebut lags yang berkisar dari 0 sampai 10. plot (Lags, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF utama untuk MA (1) dengan theta1 0.7) abline (h0) menambahkan sumbu horizontal ke plot Perintah pertama menentukan ACF dan menyimpannya dalam objek Bernama acfma1 (pilihan nama kami). Perintah plot (perintah ke-3) cenderung tertinggal dibandingkan nilai ACF untuk lags 1 sampai 10. Parameter ylab memberi label sumbu y dan parameter utama menempatkan sebuah judul pada plot. Untuk melihat nilai numerik ACF cukup gunakan perintah acfma1. Simulasi dan plot dilakukan dengan perintah berikut. Xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) Simulasikan n 150 nilai dari MA (1) xxc10 menambahkan 10 untuk membuat mean 10. Simulasi default berarti 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF untuk data sampel simulasi) Pada Contoh 2, kami merencanakan teoritis ACF dari model xt 10 wt .5 w t-1, 3 w t-2. Dan kemudian disimulasikan n 150 nilai dari model ini dan diplotkan time series sampel dan sampel ACF untuk data simulasi. Perintah R yang digunakan adalah acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF utama untuk MA (2) dengan theta1 0.5, Theta20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, list (mac (0.5, 0.3))) xxc10 plot (x, typeb, seri Simulated MA (2)) acf (x, xlimc (1,10) MainACF untuk simulasi MA (2) Data) Lampiran: Bukti Sifat MA (1) Bagi siswa yang berminat, berikut adalah bukti sifat teoritis model MA (1). Varians: teks (teks teks (xt) teks (wt theta1 w) 0 teks (wt) teks (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Bila h 1, ungkapan sebelumnya 1 w 2. Untuk h 2, ungkapan sebelumnya 0 Alasannya adalah bahwa, dengan definisi independensi wt. E (w k w j) 0 untuk setiap k j. Selanjutnya, karena meannya 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Untuk seri waktu, Terapkan hasil ini untuk mendapatkan ACF yang diberikan di atas. Model MA yang dapat dibalik adalah salah satu yang dapat ditulis sebagai model AR berurutan tak terbatas yang menyatu sehingga koefisien AR bertemu ke 0 saat kita bergerak mundur jauh waktu. Nah, mendifinisikan invertibilitas model MA (1). Kita kemudian mengganti hubungan (2) untuk w t-1 dalam persamaan (1) (3) (zt wt theta1 (z-theta1w) dengan theta1z-theta2w) Pada waktu t-2. Persamaan (2) menjadi Kami kemudian mengganti hubungan (4) untuk w t-2 dalam persamaan (3) (zt wt theta1 z-theta21w wta theta1z-theta21w wt theta1z - theta12z theta31w) Jika kita melanjutkan ( Tak terbatas), kita akan mendapatkan model AR tak berhingga (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z dots) Namun perlu dicatat bahwa jika 1 1, koefisien yang mengalikan kelambatan z akan meningkat (tak terbatas) jika kita bergerak kembali waktu. Untuk mencegah hal ini, kita membutuhkan 1 lt1. Ini adalah kondisi untuk model MA (1) yang dapat dibalik. Model MA Order Tak Terhingga Pada minggu ke 3, perhatikan bahwa model AR (1) dapat dikonversi menjadi model MA pesanan tak terbatas: (xt - mu wt phi1w phi21w titik phik1 w titik jumlah phij1w) Penjumlahan istilah white noise masa lalu ini diketahui. Sebagai representasi kausal AR (1). Dengan kata lain, x t adalah tipe MA khusus dengan jumlah tak terhingga dari istilah yang masuk ke masa lalu. Ini disebut MA tak terbatas atau MA (). Urutan terbatas MA adalah AR tak berhingga dan urutan terbatas AR adalah MA tak terbatas. Ingat di Minggu 1, kami mencatat bahwa persyaratan untuk AR stasioner (1) adalah bahwa 1 lt1. Mari menghitung Var (x t) dengan menggunakan representasi kausal. Langkah terakhir ini menggunakan fakta dasar tentang deret geometris yang membutuhkan (phi1lt1) jika rangkaiannya menyimpang. NavigationMoving Average - MA BREAKING DOWN Moving Average - MA Sebagai contoh SMA, pertimbangkan keamanan dengan harga penutupan berikut selama 15 hari: Minggu 1 (5 hari) 20, 22, 24, 25, 23 Minggu 2 (5 hari) 26, 28, 26, 29, 27 Minggu 3 (5 hari) 28, 30, 27, 29, 28 MA 10 hari akan rata-rata menutup harga untuk 10 hari pertama sebagai titik data pertama. Titik data berikutnya akan menurunkan harga paling awal, tambahkan harga pada hari ke 11 dan ambil rata-rata, dan seterusnya seperti yang ditunjukkan di bawah ini. Seperti disebutkan sebelumnya, MAs lag tindakan harga saat ini karena mereka didasarkan pada harga masa lalu semakin lama periode MA, semakin besar lag. Jadi MA 200 hari akan memiliki tingkat lag yang jauh lebih besar daripada MA 20 hari karena mengandung harga selama 200 hari terakhir. Panjang MA yang digunakan bergantung pada tujuan perdagangan, dengan MA yang lebih pendek digunakan untuk perdagangan jangka pendek dan MA jangka panjang lebih sesuai untuk investor jangka panjang. MA 200 hari banyak diikuti oleh investor dan pedagang, dengan tembusan di atas dan di bawah rata-rata pergerakan ini dianggap sebagai sinyal perdagangan penting. MA juga memberi sinyal perdagangan penting tersendiri, atau bila dua rata-rata melintas. MA yang sedang naik menunjukkan bahwa keamanan dalam tren naik. Sementara MA yang menurun menunjukkan bahwa tren turun. Begitu pula, momentum ke atas dikonfirmasi dengan crossover bullish. Yang terjadi ketika MA jangka pendek melintasi MA jangka panjang. Momentum turun dikonfirmasi dengan crossover bearish, yang terjadi saat MA jangka pendek melintasi di bawah MA jangka panjang.